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离散动力学性质和社会

1607 - 887 x<我年代年代npub-type="ppub"> 1026 - 0226

Hindawi出版公司

179430年

10.1155 / 2010/179430

179430年

研究文章

在<我nl我ne-formula> p 进的模拟<我nl我ne-formula> 问伯恩斯坦多项式和相关积分

金

T。

¹ 崔

J。

¹ 金

y . H。

¹ 张成泽

l . C。

² 张

Binggen

^{1

一般Education-Mathematics分工

Kwangwoon大学

韩国139 - 701

韩国

kw.ac.kr} ^{2

数学系和计算机科学

建国大学

以南忠州市380 - 701

韩国

konkuk.ac.kr}

2010年

26<米在th> 12 2010年

2010年 17<米在th> 09年 2010年 22<米在th> 12 2010年

2010年

这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

最近,金正日的工作(新闻)<我nl我ne-formula> 问伯恩斯坦多项式菲利普斯是不同的<我nl我ne-formula> 问伯恩斯坦多项式引入工作(菲利普斯,1996;1997)。本文的目的是研究几个类型的金正日的一些性质<我nl我ne-formula> 问伯恩斯坦多项式来表达的<我nl我ne-formula> p 进<我nl我ne-formula> 问这些多项式的积分<我nl我ne-formula> ℤ p 与Carlitz相关的<我nl我ne-formula> 问伯努利数字和多项式。最后,我们也同样得到了一些关系<我nl我ne-formula> p 进<我nl我ne-formula> 问整体产品的金正日的几种类型<我nl我ne-formula> 问伯恩斯坦多项式和他们的权力<我nl我ne-formula> ℤ p 。

1。介绍

让<我nl我ne-formula> C ( 0 1 ] 表示连续函数的集合<我nl我ne-formula> ( 0 1 ] 。为<我nl我ne-formula> 0 < 问 < 1 和<我nl我ne-formula> f ∈ C ( 0 1 ] ,介绍了<我nl我ne-formula> 问伯恩斯坦线性算子的扩展<我nl我ne-formula> n 为<我nl我ne-formula> f 如下: (1.1) B n , 问 ( f ∣ x ) = ∑ k = 0 n f ( k n ) ( n k ) ( x ] 问 k ( 1 - - - - - - x ] 1 / 问 n - - - - - - k = ∑ k = 0 n f ( k n ) B k , n ( x , 问 ) , 在哪里<我nl我ne-formula> ( x ] 问 = ( 1 - - - - - - 问 x ) / ( 1 - - - - - - 问 ) (见[ 1])。在这里<我nl我ne-formula> n , 问 ( f ∣ x ) 被称为金的<我nl我ne-formula> 问伯恩斯坦的顺序<我nl我ne-formula> n 为<我nl我ne-formula> f 。为<我nl我ne-formula> k , n ∈ ℤ + ( = ℕ ∪ { 0 } ) ,<我nl我ne-formula> B k , n ( x , 问 ) = ( n k ) ( x ] 问 k ( 1 - - - - - - x ] 1 / 问 n - - - - - - k 被称为金的吗<我nl我ne-formula> 问伯恩斯坦多项式的程度<我nl我ne-formula> n (见[ 2- - - - - - 6])。

在[ 7),Carlitz定义一组数字<我nl我ne-formula> ξ k = ξ k ( 问 ) 电感的 (1.2) ξ 0 = 1 , ( 问 ξ + 1 ) k - - - - - - ξ k = { 1 如果 k = 1 , 0 如果 k > 1 , 取代通常的惯例<我nl我ne-formula> ξ k 通过<我nl我ne-formula> ξ k 。这些数字是<我nl我ne-formula> 问类似普通的伯努利数<我nl我ne-formula> B k ,但他们不仍然有限<我nl我ne-formula> 问 = 1 。所以他修改的定义如下: (1.3) β 0 , 问 = 1 , 问 ( 问 β + 1 ) k - - - - - - β k , 问 = { 1 如果 k = 1 , 0 如果 k > 1 , 取代通常的惯例<我nl我ne-formula> β k 通过<我nl我ne-formula> β k , 问 (见[ 7])。这些数字<我nl我ne-formula> β n , 问被称为“<我nl我ne-formula> n th Carlitz<我nl我ne-formula> 问伯努利数。和Carlitz<我nl我ne-formula> 问伯努利多项式的定义 (1.4) β k , 问 ( x ) = ( 问 x β + ( x ] 问 ) k = ∑ 我 = 0 k ( k 我 ) β 我 , 问问我 x ( x ] 问 k - - - - - - 我。作为<我nl我ne-formula> 问 → 1 ,我们有<我nl我ne-formula> β k , 问 → B k 和<我nl我ne-formula> β k , 问 ( x ) → B k ( x ) ,在那里<我nl我ne-formula> B k 和<我nl我ne-formula> B k ( x ) 分别是普通的伯努利数和多项式。

让<我nl我ne-formula> p 是一个固定的质数。在这篇文章中,<我nl我ne-formula> ℤ ,<我nl我ne-formula> ℚ ,<我nl我ne-formula> ℤ p ,<我nl我ne-formula> ℚ p ,<我nl我ne-formula> ℂ p 将表示环的理性的整数,有理数,戒指的<我nl我ne-formula> p 进整数,领域<我nl我ne-formula> p 进有理数和代数闭包的完成<我nl我ne-formula> ℚ p ,分别。让<我nl我ne-formula> ν p 归一化指数的估值<我nl我ne-formula> ℂ p 这样<我nl我ne-formula> | p | p = p - - - - - - ν p ( p ) = 1 / p 。

让<我nl我ne-formula> 问被视为一个复数<我nl我ne-formula> 问 ∈ ℂ 或者一个<我nl我ne-formula> p 进数量<我nl我ne-formula> 问 ∈ ℂ p 。如果<我nl我ne-formula> 问 ∈ ℂ ,我们假设<我nl我ne-formula> | 问 | < 1 ,如果<我nl我ne-formula> 问 ∈ ℂ p 通常,我们认为<我nl我ne-formula> | 1 - - - - - - 问 | p < 1 。

我们说<我nl我ne-formula> f 是一致可微函数在一个点<我nl我ne-formula> 一个 ∈ ℤ p ,表示这个属性<我nl我ne-formula> f ∈ UD ( ℤ p ) 如果差商<我nl我ne-formula> F f ( x , y ) = ( f ( x ) - - - - - - f ( y ) ) / ( x - - - - - - y ) 有一个限制<我nl我ne-formula> f ′ ( 一个 ) 作为<我nl我ne-formula> ( x , y ) → ( 一个 , 一个 ) (见[ 1, 3, 8- - - - - - 13])。

为<我nl我ne-formula> f ∈ UD ( ℤ p ) ,让我们开始表达 (1.5) 1 ( p N ] 问 ∑ 0 ≤ x < p N 问 x f ( x ) = ∑ 0 ≤ x < p N f ( x ) μ 问 ( x + p N Z p ) , 代表一个<我nl我ne-formula> 问模拟的黎曼和<我nl我ne-formula> f (见[ 11])。的积分<我nl我ne-formula> f 在<我nl我ne-formula> ℤ p 被定义为的极限<我nl我ne-formula> n → ∞ 的金额(如果存在)。的<我nl我ne-formula> p 进<我nl我ne-formula> 问在一个函数积分<我nl我ne-formula> f ∈ UD ( ℤ p ) 被定义为 (1.6) 我问 ( f ) = ∫ Z p f ( x ) d μ 问 ( x ) = lim ⁡ N → ∞ 1 ( p N ] 问 ∑ x = 0 p N - - - - - - 1 f ( x ) 问 x , (见[ 11])。

正如所示( 3,Carlitz<我nl我ne-formula> 问伯努利数可以表示为<我nl我ne-formula> p 进<我nl我ne-formula> 问积分上<我nl我ne-formula> ℤ p 如下: (1.7) ∫ Z p ( x ] 问米 d μ 问 ( x ) = β 米 , 问 , 为米 ∈ Z + 。 Carlitz也是<我nl我ne-formula> 问伯努利多项式<我nl我ne-formula> β k , 问 ( x ) 可以表示 (1.8) β 米 , 问 ( x ) = ∫ Z p ( x + y ] 问米 d μ 问 ( y ) , 为米 ∈ Z + , (见[ 3])。

在本文中,我们考虑的<我nl我ne-formula> p 进金的模拟<我nl我ne-formula> 问伯恩斯坦多项式在<我nl我ne-formula> ℤ p 并给出几个类型的金正日的一些性质<我nl我ne-formula> 问伯恩斯坦多项式来表示<我nl我ne-formula> p 进<我nl我ne-formula> 问积分上<我nl我ne-formula> ℤ p 这些多项式。最后,我们得到一些关系<我nl我ne-formula> p 进<我nl我ne-formula> 问整体产品的金正日的几种类型<我nl我ne-formula> 问伯恩斯坦多项式和他们的权力<我nl我ne-formula> ℤ p 。

2。< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M107 " > < mml: mrow > < mml: mi > q < / mml: mi > < / mml: mrow > < / mml:数学> < / inline-formula >伯恩斯坦多项式与< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M108 " > < mml: mrow > < mml: mi > p < / mml: mi > < / mml: mrow > < / mml:数学> < / inline-formula >进< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M109 " > < mml: mrow > < mml: mi > q < / mml: mi > < / mml: mrow > < / mml:数学> < / inline-formula >积分在< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M110中心也能看到" > < mml: mrow > < mml: msub > < mml: mrow > < mml: mi >ℤ< / mml: mi > < / mml: mrow > < mml: mrow > < mml: mi > p < / mml: mi > < / mml: mrow > < / mml: msub > < / mml: mrow > < / mml:数学> < / inline-formula >

在本节中,我们假设<我nl我ne-formula> 问 ∈ ℂ p 与<我nl我ne-formula> | 1 - - - - - - 问 | p < 1 。

从( 1.5),( 1.7)和( 1.8),我们注意到 (2.1) ∫ Z p ( 1 - - - - - - x + x 1 ] 1 / 问 n d μ 1 / 问 ( x 1 ) = 问 n ( 问 - - - - - - 1 ) n - - - - - - 1 ∑ l = 0 n ( n l ) ( - - - - - - 1 ) l 问 l x l + 1 问 l + 1 - - - - - - 1 , ∫ Z p ( x + x 1 ] 问 n d μ 问 ( x 1 ) = 1 ( 1 - - - - - - 问 ) n - - - - - - 1 ∑ l = 0 n ( n l ) ( - - - - - - 1 ) l 问 l x l + 1 1 - - - - - - 问 l + 1 。由( 2.1),我们得到 (2.2) ( - - - - - - 1 ) n 问 n ∫ Z p ( x + x 1 ] 问 n d μ 问 ( x 1 ) = ∫ Z p ( 1 - - - - - - x + x 1 ] 1 / 问 n d μ 1 / 问 ( x 1 ) 。因此,我们得到下面的定理。

<年代tatement id="thm1"> 定理2.1。

为<我nl我ne-formula> n ∈ ℤ + ,一个 (2.3) ∫ Z p ( 1 - - - - - - x + x 1 ] 1 / 问 n d μ 1 / 问 ( x 1 ) = ( - - - - - - 1 ) n 问 n ∫ Z p ( x + x 1 ] 问 n d μ 问 ( x 1 ) 。

Carlitz的定义的<我nl我ne-formula> 问伯努利数字和多项式,得到 (2.4) 问 2 β n , 问 ( 2 ) - - - - - - ( n + 1 ) 问 2 + 问 = 问 ( 问 β + 1 ) n = β n , 问如果 n > 1 。因此,我们有以下建议。

<年代tatement id="prop2"> 命题2.2。

为<我nl我ne-formula> n ∈ ℕ 与<我nl我ne-formula> n > 1 ,一个 (2.5) β n , 问 ( 2 ) = 1 问 2 β n , 问 + n + 1 - - - - - - 1 问。

很容易证明 (2.6) ( 1 - - - - - - x ] 1 / 问 n = ( 1 - - - - - - ( x ] 问 ) n = ( - - - - - - 1 ) n 问 n ( x - - - - - - 1 ] 问 n 。因此,我们有 (2.7) ∫ Z p ( 1 - - - - - - x ] 1 / 问 n d μ 问 ( x ) = ( - - - - - - 1 ) n 问 n ∫ Z p ( x - - - - - - 1 ] 问 n d μ 问 ( x ) 。由( 1.8),我们得到 (2.8) ∫ Z p ( 1 - - - - - - x ] 1 / 问 n d μ 问 ( x ) = ( - - - - - - 1 ) n 问 n β n , 问 ( - - - - - - 1 ) 。由定理 2.1和( 2.8),我们看到 (2.9) ∫ Z p ( 1 - - - - - - x ] 1 / 问 n d μ 问 ( x ) = ( - - - - - - 1 ) n 问 n β n , 问 ( - - - - - - 1 ) = β n , 1 / 问 ( 2 ) 。从( 2.9)和命题 2.2,我们有 (2.10) ∫ Z p ( 1 - - - - - - x ] 1 / 问 n d μ 问 ( x ) = β n , 1 / 问 ( 2 ) = 问 2 β n , 1 / 问 + n + 1 - - - - - - 问。由( 1.7)和( 2.10),我们获得以下定理。

<年代tatement id="thm3"> 定理2.3。

为<我nl我ne-formula> n ∈ ℕ 与<我nl我ne-formula> n > 1 ,一个 (2.11) ∫ Z p ( 1 - - - - - - x ] 1 / 问 n d μ 问 ( x ) = 问 2 ∫ Z p ( x ] 1 / 问 n d μ 1 / 问 ( x ) + n + 1 - - - - - - 问。

以<我nl我ne-formula> p 进<我nl我ne-formula> 问积分上<我nl我ne-formula> ℤ p 一个金的<我nl我ne-formula> 问伯恩斯坦多项式,得到 (2.12) ∫ Z p B k , n ( x , 问 ) d μ 问 ( x ) = ( n k ) ∫ Z p ( x ] 问 k ( 1 - - - - - - x ] 1 / 问 n - - - - - - k d μ 问 ( x ) = ( n k ) ∑ l = 0 n - - - - - - k ( n - - - - - - k l ) ( - - - - - - 1 ) l ∫ Z p ( x ] 问 k + l d μ 问 ( x ) = ( n k ) ∑ l = 0 n - - - - - - k ( n - - - - - - k l ) ( - - - - - - 1 ) l β k + l , 问 , 和,<我nl我ne-formula> 问对称的属性<我nl我ne-formula> B k , n ( x , 问 ) ,我们看到, (2.13) ∫ Z p B k , n ( x , 问 ) d μ 问 ( x ) = ∫ Z p B n - - - - - - k , n ( 1 - - - - - - x , 1 问 ) d μ 问 ( x ) = ( n k ) ∑ l = 0 k ( k l ) ( - - - - - - 1 ) k + l ∫ Z p ( 1 - - - - - - x ] 1 / 问 n - - - - - - l d μ 问 ( x ) 。

为<我nl我ne-formula> n > k + 1 通过定理 2.3和( 2.13),有 (2.14) ∫ Z p B k , n ( x , 问 ) d μ 问 ( x ) = ( n k ) ∑ l = 0 k ( - - - - - - 1 ) k + l ( k l ) ( n - - - - - - l + 1 - - - - - - 问 + 问 2 ∫ Z p ( x ] 1 / 问 n - - - - - - l d μ 1 / 问 ( x ) ] = ( n k ) ∑ l = 0 k ( - - - - - - 1 ) k + l ( k l ) ( n - - - - - - l + 1 - - - - - - 问 + 问 2 β n - - - - - - l , 1 / 问 ] 。

让<我nl我ne-formula> 米 , n , k ∈ ℤ + 与<我nl我ne-formula> 米 + n > 2 k + 1 。然后<我nl我ne-formula> p 进<我nl我ne-formula> 问积分的乘法两金的<我nl我ne-formula> 问伯恩斯坦多项式在<我nl我ne-formula> ℤ p 可以由以下关系: (2.15) ∫ Z p B k , n ( x , 问 ) B k , 米 ( x , 问 ) d μ 问 ( x ) = ( n k ) ( 米 k ) ∫ Z p ( x ] 问 2 k ( 1 - - - - - - x ] 1 / 问 n + 米 - - - - - - 2 k d μ 问 ( x ) = ( n k ) ( 米 k ) ∑ l = 0 2 k ( 2 k l ) ( - - - - - - 1 ) l + 2 k 问 ∫ Z p ( 1 - - - - - - x ] 1 / 问 n + 米 - - - - - - l d μ 问 ( x ) 。

由定理 2.3和( 2.15),我们得到 (2.16) ∫ Z p B k , n ( x , 问 ) B k , 米 ( x , 问 ) d μ 问 ( x ) = ( n k ) ( 米 k ) ∑ l = 0 2 k ( 2 k l ) ( - - - - - - 1 ) l + 2 k ( n + 米 - - - - - - l + 1 - - - - - - 问 + 问 2 ∫ Z p ( x ] 1 / 问 n + 米 - - - - - - l d μ 1 / 问 ( x ) ] = ( n k ) ( 米 k ) ∑ l = 0 2 k ( 2 k l ) ( - - - - - - 1 ) l + 2 k ( n + 米 - - - - - - l + 1 - - - - - - 问 + 问 2 β n + 米 - - - - - - l , 1 / 问 ] 。

通过简单的计算,我们很容易得到 (2.17) ∫ Z p B k , n ( x , 问 ) B k , 米 ( x , 问 ) d μ 问 ( x ) = ( n k ) ( 米 k ) ∫ Z p ( x ] 问 2 k ( 1 - - - - - - x ] 1 / 问 n + 米 - - - - - - 2 k d μ 问 ( x ) = ( n k ) ( 米 k ) ∑ l = 0 n + 米 - - - - - - 2 k ( n + 米 - - - - - - 2 k l ) ( - - - - - - 1 ) l ∫ Z p ( x ] 问 l + 2 k d μ 问 ( x ) = ( n k ) ( 米 k ) ∑ l = 0 n + 米 - - - - - - 2 k ( n + 米 - - - - - - 2 k l ) ( - - - - - - 1 ) l β l + 2 k , 问。继续这个过程,我们获得 (2.18) ∫ Z p ( ∏ 我 = 1 年代 B k , n 我 ( x , 问 ) ) d μ 问 ( x ) = ( ∏ 我 = 1 年代 ( n 我 k ) ) ∫ Z p ( x ] 问年代 k ( 1 - - - - - - x ] 1 / 问 n 1 + ⋯ + n 年代 - - - - - - 年代 k d μ 问 ( x ) = ( ∏ 我 = 1 年代 ( n 我 k ) ) ∑ l = 0 年代 k ( 年代 k l ) ( - - - - - - 1 ) 年代 k + l ∫ Z p ( 1 - - - - - - x ] 1 / 问 n 1 + ⋯ + n 年代 - - - - - - l d μ 问 ( x ) 。

让<我nl我ne-formula> 年代 ∈ ℕ 和<我nl我ne-formula> n 1 , … , n 年代 ,<我nl我ne-formula> k ∈ ℤ + 与<我nl我ne-formula> n 1 + n 2 + ⋯ + n 年代 > 年代 k + 1 。由定理 2.3和( 2.18),我们得到 (2.19) ∫ Z p ( ∏ 我 = 1 年代 B k , n 我 ( x , 问 ) ) d μ 问 ( x ) = ( ∏ 我 = 1 年代 ( n 我 k ) ) ∑ l = 0 年代 k ( 年代 k l ) ( - - - - - - 1 ) 年代 k + l { ∑ 我 = 1 年代 n 我 - - - - - - l + 1 - - - - - - 问 + 问 2 ∫ Z p ( x ] 1 / 问 n 1 + ⋯ + n 年代 - - - - - - l d μ 1 / 问 ( x ) } = ( ∏ 我 = 1 年代 ( n 我 k ) ) ∑ l = 0 年代 k ( 年代 k l ) ( - - - - - - 1 ) 年代 k + l { ∑ 我 = 1 年代 n 我 - - - - - - l + 1 - - - - - - 问 + 问 2 β n 1 + ⋯ + n 年代 - - - - - - l , 1 / 问 } 。从二项式系数的定义,我们注意 (2.20) ∫ Z p ( ∏ 我 = 1 年代 B k , n 我 ( x , 问 ) ) d μ 问 ( x ) = ( ∏ 我 = 1 年代 ( n 我 k ) ) ∫ Z p ( x ] 问年代 k ( 1 - - - - - - x ] 1 / 问 n 1 + ⋯ + n 年代 - - - - - - 年代 k d μ 问 ( x ) = ( ∏ 我 = 1 年代 ( n 我 k ) ) ∑ l = 0 n 1 + ⋯ + n 年代 - - - - - - 年代 k ( n 1 + ⋯ + n 年代 - - - - - - 年代 k l ) ( - - - - - - 1 ) l ∫ Z p ( x ] 问年代 k + l d μ 问 ( x ) = ( ∏ 我 = 1 年代 ( n 我 k ) ) ∑ l = 0 n 1 + ⋯ + n 年代 - - - - - - 年代 k ( n 1 + ⋯ + n 年代 - - - - - - 年代 k l ) ( - - - - - - 1 ) l β 年代 k + l , 问 , 在哪里<我nl我ne-formula> 年代 ∈ ℕ 和<我nl我ne-formula> n 1 , … , n 年代 ,<我nl我ne-formula> k ∈ ℤ + 。

由( 2.19)和( 2.20),我们获得以下定理。

<年代tatement id="thm4"> 定理2.4。

(我)<我nl我ne-formula> 年代 ∈ ℕ 和<我nl我ne-formula> n 1 , … , n 年代 ,<我nl我ne-formula> k ∈ ℕ 与<我nl我ne-formula> n 1 + n 2 + ⋯ + n 年代 > 年代 k + 1 ,一个 (2.21) ∫ Z p ( ∏ 我 = 1 年代 B k , n 我 ( x , 问 ) ) d μ 问 ( x ) = ( ∏ 我 = 1 年代 ( n 我 k ) ) ∑ l = 0 年代 k ( 年代 k l ) ( - - - - - - 1 ) 年代 k + l { ∑ 我 = 1 年代 n 我 - - - - - - l + 1 - - - - - - 问 + 问 2 β n 1 + ⋯ + n 年代 - - - - - - l , 1 / 问 } 。

(二)<我nl我ne-formula> 年代 ∈ ℕ 和<我nl我ne-formula> n 1 , … , n 年代 ,<我nl我ne-formula> k ∈ ℤ + ,一个 (2.22) ∫ Z p ( ∏ 我 = 1 年代 B k , n 我 ( x , 问 ) ) d μ 问 ( x ) = ( ∏ 我 = 1 年代 ( n 我 k ) ) ∑ l = 0 n 1 + ⋯ + n 年代 - - - - - - 年代 k ( n 1 + ⋯ + n 年代 - - - - - - 年代 k l ) ( - - - - - - 1 ) l β 年代 k + l , 问。

由定理 2.4,我们获得以下推论。

<年代tatement id="coro5"> 推论2.5。

为<我nl我ne-formula> 年代 ∈ ℕ 和<我nl我ne-formula> n 1 , … , n 年代 ,<我nl我ne-formula> k ∈ ℕ 与<我nl我ne-formula> n 1 + n 2 + ⋯ + n 年代 > 年代 k + 1 ,一个 (2.23) ∑ l = 0 年代 k ( 年代 k l ) ( - - - - - - 1 ) 年代 k + l { ∑ 我 = 1 年代 n 我 - - - - - - l + 1 - - - - - - 问 + 问 2 β n 1 + ⋯ + n 年代 - - - - - - l , 1 / 问 } = ∑ l = 0 n 1 + ⋯ + n 年代 - - - - - - 年代 k ( n 1 + ⋯ + n 年代 - - - - - - 年代 k l ) ( - - - - - - 1 ) l β 年代 k + l , 问。

让<我nl我ne-formula> 年代 ∈ ℕ 和<我nl我ne-formula> 米 1 , … , 米年代 ,<我nl我ne-formula> n 1 , … , n 年代 ,<我nl我ne-formula> k ∈ ℤ + 与<我nl我ne-formula> 米 1 n 1 + ⋯ + 米年代 n 年代 > ( 米 1 + ⋯ + 米年代 ) k + 1 。然后一个 (2.24) ∫ Z p ( ∏ 我 = 1 年代 B k , n 我米我 ( x , 问 ) ) d μ 问 ( x ) = ( ∏ 我 = 1 年代 ( n 我 k ) 米我 ) ∑ l = 0 k ∑ 我 = 1 年代米我 ( k ∑ 我 = 1 年代米我 l ) ( - - - - - - 1 ) k ∑ 我 = 1 年代米我 - - - - - - l × ∫ Z p ( 1 - - - - - - x ] 问 ∑ 我 = 1 年代 n 我米我 - - - - - - l d μ 问 ( x ) = ( ∏ 我 = 1 年代 ( n 我 k ) 米我 ) ∑ l = 0 k ∑ 我 = 1 年代米我 ( k ∑ 我 = 1 年代米我 l ) ( - - - - - - 1 ) k ∑ 我 = 1 年代米我 - - - - - - l × { ( ∑ 我 = 1 年代米我 n 我 - - - - - - l + 1 ) - - - - - - 问 + 问 2 ∫ Z p ( x ] 1 / 问 ∑ 我 = 1 年代 n 我米我 - - - - - - l d μ 1 / 问 ( x ) } = ( ∏ 我 = 1 年代 ( n 我 k ) 米我 ) ∑ l = 0 k ∑ 我 = 1 年代米我 ( k ∑ 我 = 1 年代米我 l ) ( - - - - - - 1 ) k ∑ 我 = 1 年代米我 - - - - - - l × { ( ∑ 我 = 1 年代米我 n 我 - - - - - - l + 1 ) - - - - - - 问 + 问 2 β n 1 米 1 + ⋯ + n 年代米年代 - - - - - - l , 1 / 问 } 。

从二项式系数的定义,一个 (2.25) ∫ Z p ( ∏ 我 = 1 年代 B k , n 我米我 ( x , 问 ) ) d μ 问 ( x ) = ( ∏ 我 = 1 年代 ( n 我 k ) 米我 ) ∑ l = 0 ∑ 我 = 1 年代 n 我米我 - - - - - - k ∑ 我 = 1 年代米我 ( ∑ 我 = 1 年代 n 我米我 - - - - - - k ∑ 我 = 1 年代米我 l ) ( - - - - - - 1 ) l × ∫ Z p ( x ] 问 ( 米 1 + ⋯ + 米年代 ) k + l d μ 问 ( x ) = ( ∏ 我 = 1 年代 ( n 我 k ) 米我 ) ∑ l = 0 ∑ 我 = 1 年代 n 我米我 - - - - - - k ∑ 我 = 1 年代米我 ( ∑ 我 = 1 年代 n 我米我 - - - - - - k ∑ 我 = 1 年代米我 l ) × ( - - - - - - 1 ) l β ( 米 1 + ⋯ + 米年代 ) k + l , 问。

由( 2.24)和( 2.25),我们获得以下定理。

<年代tatement id="thm6"> 定理2.6。

为<我nl我ne-formula> 年代 ∈ ℕ 和<我nl我ne-formula> 米 1 , … , 米年代 ,<我nl我ne-formula> n 1 , … , n 年代 ,<我nl我ne-formula> k ∈ ℤ + 与<我nl我ne-formula> 米 1 n 1 + ⋯ + 米年代 n 年代 > ( 米 1 + ⋯ + 米年代 ) k + 1 ,一个 (2.26) ∑ l = 0 k ∑ 我 = 1 年代米我 ( k ∑ 我 = 1 年代米我 l ) ( - - - - - - 1 ) k ∑ 我 = 1 年代米我 - - - - - - l { ( ∑ 我 = 1 年代米我 n 我 - - - - - - l + 1 ) - - - - - - 问 + 问 2 β n 1 米 1 + ⋯ + n 年代米年代 - - - - - - l , 1 / 问 } = ∑ l = 0 ∑ 我 = 1 年代 n 我米我 - - - - - - k ∑ 我 = 1 年代米我 ( ∑ 我 = 1 年代 n 我米我 - - - - - - k ∑ 我 = 1 年代米我 l ) ( - - - - - - 1 ) l β ( 米 1 + ⋯ + 米年代 ) k + l , 问。

承认

本文是由Kwangwoon大学2010年的研究资助。

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一个注意<我nl我ne-formula> 问伯恩斯坦多项式俄罗斯数学物理杂志》上。在新闻

Acikgoz

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在一个<我nl我ne-formula> 问模拟的<我nl我ne-formula> p 进日志伽马函数和相关积分《数论 1999年 76年 2 320年 329年 10.1006 / jnth.1999.2373

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simsekyil63@yahoo.com Acikgoz

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tkkim@kw.ac.kr 张成泽

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