188bet体育t_188bet投注网站

优势

运筹学研究进展

1687 - 9155 1687-9147.

后瓦

10.1155 / 2019/8218329

8218329

研究文章

一种确定多面体近似中心的新方法

https://orcid.org/0000-0002-8576-4653

Inayatullah

赛义德

阿曼

玛丽亚

王妃

Asma

查希尔

希娜

Siddiqi

Tanveer艾哈迈德

Kacem

即时通讯

数学系

卡拉奇大学

卡拉奇75270 巴基斯坦

uok.edu.pk

2019

15. 11 2019

2019 05 03 2019 19. 06 2019 23. 06 2019 15. 11 2019

2019

这是在Creative Commons归因许可下分发的开放式访问文章，其允许在任何介质中不受限制使用，分发和再现，只要原始工作被正确引用。

本文提出了一种求解线性规划多面体近似中心的方法。这种方法提供了一个点附近的一个多面体的简单和容易的步骤。本文还给出了几何解释和一些数值算例来说明所提出的方法，并将其与现有的求精确中心和近似中心的方法进行了比较。最后给出了随机生成多面体的计算结果，比较了新方法得到的中心质量。

1.介绍</t我tle> <p>线性规划(LP)是一种优化线性函数的数学技术，它受一组线性约束和非负向约束。线性程序经常出现在当今应用科学的各个领域。这样做的主要原因是它们在不同学科中具有可管理的、巨大的影响;它已经成为许多数学家、经济学家、决策科学家等的核心研究领域。线性规划是在第二次世界大战期间发展起来的，当时一个能够最大限度地提高资源效率的系统是极其重要的。此后，许多研究者努力推进他们的思想，将多面体定心作为科学和工业上主要优化技术(称为内点法)的核心步骤。</p> </sec> <sec id="sec2"> <title>2.多面体中心的定义</t我tle> <p>有几种方法可以定义多面体的中心，它可能是重心，<我t一个lic> 重心</我t一个lic>，所有顶点的平均位置即，<我t一个lic> 顶点重心</我t一个lic>，点到各边界线距离乘积最大的位置，即<我t一个lic> 分析中心</我t一个lic>，包含多面体的最小体积椭球的中心，或多面体中最大的球的中心。因此，多面体的中心取决于我们所使用的定义。但是，幸运的是，在某种意义上，所有这些定义都是等价的，如[<xref ref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>]，如果我们得到多面体中心的多项式时间算法，那么该算法也可以用来构造求解线性规划的多项式时间算法。</p> <p>许多技巧[<xref ref-type="bibr" rid="B2"> 2</xref>- - - - - -<xref ref-type="bibr" rid="B4"> 4</xref>[用于找到多种子素的中心，但它们正在拍摄这么多的迭代，收敛缓慢，并且需要大多数复杂的计算。</p> <p>用于解决LPS的大多数内部点方法取决于中心发现方法的计算，无论是明确还是隐含的<xref ref-type="bibr" rid="B3"> 3.</xref>，<xref ref-type="bibr" rid="B5"> 5</xref>］．</p> <p>分析中心[<xref ref-type="bibr" rid="B6"> 6</xref>- - - - - -<xref ref-type="bibr" rid="B12"> 12</xref>)无疑是最常用的概念中心多面体的线性优化,因为它容易计算,但它的缺点是,它可以推动边界附近的多面体通过使用冗余约束,因为它的位置取决于定义的半无限空间位置的多面体。因此，在这种情况下，分析中心可能看起来并不位于一个好的中心位置(<我t一个lic> 另请参阅</我t一个lic>部分<xref ref-type="sec" rid="sec3"> 3.</xref>)．P-center [<xref ref-type="bibr" rid="B3"> 3.</xref>]，也将在Section中讨论<xref ref-type="sec" rid="sec4"> 4</xref>，提供比分析中心更好的中心，但在实践中发现它需要更长时间才能获得P中心的良好近似。</p> </sec> <sec id="sec3"> <title>3.分析中心</t我tle> <p>让<我t一个lic> 年代</我t一个lic>是一个由线性不等式(标准化)系统描述的多面体:<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1）</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mstyle> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤.</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1，2</米米l:mn> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ．</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>的分析中心<我t一个lic> 年代</我t一个lic>是点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℜ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>满足以下最大化问题:<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (2)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtext> 最大化</米米l:mtext> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mstyle> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ∏</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mstyle> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mtext> 受</米米l:mtext> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> ．</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>当<我t一个lic> 年代</我t一个lic>被界定，这个最大化问题总是有解决方案。</p> <p>一般来说，解析中心取决于特定不等式的定义。冗余不等式的加入可以将分析中心推向边界。在下面几节中<xref ref-type="sec" rid="sec4"> 4</xref>和<xref ref-type="sec" rid="sec5"> 5</xref>，我们讨论了两种新的有效和替代的方法，可以用来找到一个良好的近似中心位置的多面体。</p> </sec> <sec id="sec4"> <title>4. P-Center [<XRef Ref-Type =“BIBR”RID =“B3”> 3 </ XREF>]</t我tle> <p>考虑一个用集合描述的线性规划多面体<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℜ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ：</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ≤.</米米l:mo> <mml:mi> b</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>，在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℜ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ×</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>．让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ：</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ≤.</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>对应的半空间<我t一个lic> 我</我t一个lic><sup>钍</sup>行<我t一个lic> 一个</我t一个lic>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ：</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>为相应的超平面。该方法假定多面体是全维的。整个技术基于投影的以下定义。</p> <sec id="sec4.1"> <title>4.1。正交可行的预测</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一些可行的内部点;对于每个超平面<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>，我们可以很容易地生成两个不同的点(投影)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在边界上，由<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>，在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> 马克斯</米米l:mi> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ：</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> 马克斯</米米l:mi> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ：</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>．</p> </sec> <sec id="sec4.2"> <title>4．2．使用正交投影的中心位置</t我tle> <p>多托焦的顶点质心可以定义为边界上所有点的平均值和[<xref ref-type="bibr" rid="B3"> 3.</xref>]将P-Center定义为顶点质心的近似，这可以通过在多晶硅的边界上平均实现一些有限数量的点来获得。该方法的主要任务是尽可能多地生成边界上的点。为此目的，需要初始可行的内部点，然后该方法通过将正交投影的凸起组合拍摄到与定义多托的不等式相关联的超平面来生成迭代。</p> <p>每一个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>可以产生两点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在边界上<我t一个lic> 年代</我t一个lic>和一个中点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在和弦加入他们。新的迭代<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是通过取所有的平均值得到的吗<我t一个lic> 米</我t一个lic>中点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ：</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>．这是<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mstyle> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>．</p> <p>如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 马克斯</米米l:mi> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtext> 腹肌</米米l:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mi> ε</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mi> ε</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是容忍值)，然后停止与结果说“<我t一个lic> p中心达到公差水平</我t一个lic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mi> ε</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>否则，执行<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> 钍</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>迭代以<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>作为初始内部点。</p> <p>Carlos将其定义为近似于顶点质心因为在每次迭代中，他在边界上取了2 -m个不同方向的不同点。看起来是非常有效的方法,他也表明,中心的质量也很好,甚至大多数时候P-center方式比分析中心的中心,但实际上,它是发现,它变得非常缓慢收敛和达到一个特定的宽容。有时，它需要大量的迭代才能接近质心。计算结果在本节中显示<xref ref-type="sec" rid="sec6"> 6</xref>．</p> </sec> </sec> <sec id="sec5"> <title>5.一种新的中心位置近似:CN-Center</t我tle> <p>在本节中，我们将描述一节中描述的方法的递归版本<xref ref-type="sec" rid="sec4"> 4</xref>．由于这种方法的递归性，它使用最新的下一个计算中心值，因此它具有快速移动到中心位置。我们将通过这种方法称为CN中心的中心位置。</p> <p>总的来说，对于一个问题来说<我t一个lic> 米</我t一个lic>约束，此过程的每次迭代都成立<我t一个lic> 米</我t一个lic>脚步。在这里，<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的中心坐标<我t一个lic> 我</我t一个lic>的第一个中间步骤<我t一个lic> k</我t一个lic>th迭代,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>后得到的中心<我t一个lic> k</我t一个lic>th迭代,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>表示初始可行点的坐标。这里，<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ∧</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>会用来表示的中点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>，在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在限定的边界上<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>，在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> 马克斯</米米l:mi> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ：</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> 马克斯</米米l:mi> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ：</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>．</p> <p>对于任何<我t一个lic> k</我t一个lic>在迭代过程中，该方法需要一个内部可行点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>：<list> <list-item> <label></label> </list-item> </list></p> <p>步<我t一个lic> k</我t一个lic><sub>1</sub>:计算<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ∧</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ≔</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>．集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ≔</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ∧</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>．</p> <list-item> <label></label> <p>步<我t一个lic> k</我t一个lic><sub> <italic> 我</我t一个lic></sub>:计算<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ∧</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ≔</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>．集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ≔</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mstyle> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ∧</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mo> ∀</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>．</p> </list-item> <p></p> <p>既然所有超平面都有贡献，我们可以<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≔</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>．我们可以在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 马克斯</米米l:mi> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtext> 腹肌</米米l:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mi> ε</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>，在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mi> ε</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是要求的公差。如果没有达到公差水平，则过程可以继续<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> 钍</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>迭代,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>作为初始点。</p> <p>P-center和CN-center计算的主要区别可以简单地用第一次迭代的初始两个步骤来说明。<list> <list-item> <label></label> </list-item> </list></p> <p>迭代1.步骤1：这两个方法都相同地采取内部可行点，比如说<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>，作为起点，找两个点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>使用普通约束方向的可行区域的边界。然后，两种方法都需要边界点的平均值，以获得新的点，说<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>．</p> <list-item> <label></label> <p>迭代1。第二步:战略差异从这里开始;p中心法现在又用法线2求另外两个边界点的平均值<sup>nd</sup>约束和相同的起点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>，并称之为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>．</p> </list-item> <list-item> <label></label> <p>相比之下，CN-center的方法取2的正常值<sup>nd</sup>约束和一个新点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>求边界点的平均值，表示为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ∧</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>．现在,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是通过取平均值得到的吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ∧</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>．</p> </list-item> <p></p> </sec> <sec id="sec6"> <title>6.计算经验</t我tle> <p>我们进行了数值体验，将CN中心与P-Center，分析中心和质心进行比较，在Matlab中的几种多样性和具有合适的公差水平的收敛中。首先，我们在2D空间中显示Polytopes的图片，以说明CN中心，P中心，分析中心和质心的收敛性。其次，我们介绍了随机生成的多晶硅表中的数值结果。</p> <p>为了将P-center和CN-center的收敛形象化，我们从[<xref ref-type="bibr" rid="B13"> 13</xref>］．数据<xref ref-type="fig" rid="fig1"> 1</xref>- - - - - -<xref ref-type="fig" rid="fig4"> 4</xref>表示四个多面体，分别收敛于p中心和cn中心。</p> <fig id="fig1"> <label>图1</label> <p>Polytope1，P-Center在56次迭代中获得，但是在仅11次迭代中获得CN中心。智者既看起来相当于。</p> <graphic xlink:href="//www.nickgirls.com/downloads/journals/aor/2019/8218329.fig.001"></graphic> </fig> <fig id="fig2"> <label>图2.</label> <p>polytope 2，朝向中心的收敛性。</p> <graphic xlink:href="//www.nickgirls.com/downloads/journals/aor/2019/8218329.fig.002"></graphic> </fig> <fig id="fig3"> <label>图3.</label> <p>polytope 3，朝向中心的收敛性。</p> <graphic xlink:href="//www.nickgirls.com/downloads/journals/aor/2019/8218329.fig.003"></graphic> </fig> <fig id="fig4"> <label>图4.</label> <p>多面体4，向中心收敛。</p> <graphic xlink:href="//www.nickgirls.com/downloads/journals/aor/2019/8218329.fig.004"></graphic> </fig> <p>表格<xref ref-type="table" rid="tab1"> 1</xref>显示中心坐标的测量<我t一个lic> x</我t一个lic>、迭代次数和中心性的度量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>为每个多面体的p中心和cn中心，如图所示<xref ref-type="fig" rid="fig1"> 1</xref>- - - - - -<xref ref-type="fig" rid="fig4"> 4</xref></p> <table-wrap id="tab1"> <label>表格1</label> <p>P-center和CN-center的迭代次数和质量比较。</p> <table> <thead> <tr> <th align="left" rowspan="2">多胞形数</th> <th align="center" colspan="3">P-center</th> <th align="center" colspan="3">CN-center</th> </tr> <tr> <th align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></th> <th align="center"> <italic> X</我t一个lic></th> <th align="center">迭代</th> <th align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></th> <th align="center"> <italic> X</我t一个lic></th> <th align="center">迭代</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td align="left">1</td> <td align="center">0.7597</td> <td align="center">(1.4453, 3.4772)</td> <td align="center">56.</td> <td align="center">0.6903</td> <td align="center">(1.3980, 3.6719)</td> <td align="center">11</td> </tr> <tr> <td align="left">2</td> <td align="center">0.9272</td> <td align="center">（0.9790,3.0236）</td> <td align="center">38.</td> <td align="center">0.9262</td> <td align="center">（0.9843,3.0236）</td> <td align="center">7</td> </tr> <tr> <td align="left">3.</td> <td align="center">0.3332</td> <td align="center">(0.3602, 0.7120)</td> <td align="center">16.</td> <td align="center">0.3311</td> <td align="center">(0.3585, 0.7503)</td> <td align="center">2</td> </tr> <tr> <td align="left">4</td> <td align="center">0.1594</td> <td align="center">(0.1947, 0.3126)</td> <td align="center">12</td> <td align="center">0.1656</td> <td align="center">(0.2014, 0.3064)</td> <td align="center">3.</td> </tr> </tbody> </table> </table-wrap> <p>正如我们在Table中看到的<xref ref-type="table" rid="tab1"> 1</xref>以及数字<xref ref-type="fig" rid="fig1"> 1</xref>- - - - - -<xref ref-type="fig" rid="fig4"> 4</xref>，中心<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>CN-center和P-center的收敛速度几乎相等，但向CN-center的收敛速度比P-center多路快。</p> <p>现在，我们取另外四种不同的多面体，比较分析中心、p中心、质心和cn中心的观测质量。表格<xref ref-type="table" rid="tab2"> 2</xref>和图<xref ref-type="fig" rid="fig5"> 5</xref>表示数值和图形结果。基于数据<xref ref-type="fig" rid="fig1"> 1</xref>- - - - - -<xref ref-type="fig" rid="fig5"> 5</xref>，很容易看出位置 - 明智的CN中心几乎等于P中心，但迭代数量较少。</p> <table-wrap id="tab2"> <label>表2.</label> <p>解析中心、p中心、cn中心和质心坐标的数值比较。</p> <table> <thead> <tr> <th align="left">多胞形数</th> <th align="center">分析中心</th> <th align="center">P-center</th> <th align="center">CN-center</th> <th align="center">重心</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td align="left">1</td> <td align="center">（2.3932,2.8696）</td> <td align="center">(1.4453, 3.4772)</td> <td align="center">(1.3980, 3.6719)</td> <td align="center">(1.4364, 0.6318)</td> </tr> <tr> <td align="left">2</td> <td align="center">(0.6340, 3.5490)</td> <td align="center">（0.9790,3.0236）</td> <td align="center">(0.984, 3.0236)</td> <td align="center">(1.0000, 3.0000)</td> </tr> <tr> <td align="left">3.</td> <td align="center">(0.3732, 0.8454)</td> <td align="center">(0.3602, 0.7120)</td> <td align="center">（0.358,0.7503）</td> <td align="center">(0.3524, 0.7403)</td> </tr> <tr> <td align="left">4</td> <td align="center">(0.2152, 0.3704)</td> <td align="center">(0.1947, 0.3126)</td> <td align="center">(0.2014, 0.3064)</td> <td align="center">(0.2644, 0.2738)</td> </tr> </tbody> </table> </table-wrap> <fig id="fig5"> <label>图5.</label> <p>分析中心(黄色方块表示)、p中心(蓝色星号表示)、cn中心(黑色圆点表示)、质心(绿色菱形表示)的质量图形比较。</p> <graphic xlink:href="//www.nickgirls.com/downloads/journals/aor/2019/8218329.fig.005"></graphic> </fig> <p>我们的计算表明，如果取初始点在区域的窄角附近，那么P-center和CN-center的迭代次数会有很大的差异，如图所示<xref ref-type="fig" rid="fig6"> 6</xref>，如果取初始点在区域的宽角附近(<我t一个lic> 看到</我t一个lic>数字<xref ref-type="fig" rid="fig7"> 7</xref>），P中心和CN中心的迭代次数的差异不会那么重要。</p> <fig id="fig6"> <label>图6.</label> <p>当初始点位于窄角附近时，cn中心比p中心收敛快得多。</p> <graphic xlink:href="//www.nickgirls.com/downloads/journals/aor/2019/8218329.fig.006"></graphic> </fig> <fig id="fig7"> <label>图7.</label> <p>当初始点位于宽角附近时，p中心和cn中心的迭代次数几乎相等。</p> <graphic xlink:href="//www.nickgirls.com/downloads/journals/aor/2019/8218329.fig.007"></graphic> </fig> <p>现在,表<xref ref-type="table" rid="tab3"> 3.</xref>给出了随机生成的约束条件较多的2D lp的P-center和CN-center的迭代次数的计算结果。</p> <table-wrap id="tab3"> <label>表3</label> <p>随机生成LPs的MATLAB计算结果。</p> <table> <thead> <tr> <th align="left" rowspan="2">数量的限制</th> <th align="center" colspan="2">P-center</th> <th align="center" colspan="2">CN-center</th> </tr> <tr> <th align="center">中心的坐标</th> <th align="center">数量的迭代</th> <th align="center">中心的坐标</th> <th align="center">数量的迭代</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td align="left" rowspan="11">25.</td> <td align="center">(0.0965, 0.0752)</td> <td align="center">6</td> <td align="center">(0.1122, 0.0793)</td> <td align="center">1</td> </tr> <tr> <td align="center">（0.0465,0.0746）</td> <td align="center">8</td> <td align="center">（0.0469,0.1064）</td> <td align="center">1</td> </tr> <tr> <td align="center">（0.3132,0.7748）</td> <td align="center">12</td> <td align="center">(0.3187, 0.8938)</td> <td align="center">1</td> </tr> <tr> <td align="center">(0.4704, 0.0892)</td> <td align="center">24.</td> <td align="center">(0.4837, 0.0898)</td> <td align="center">2</td> </tr> <tr> <td align="center">(0.5839, 0.1610)</td> <td align="center">21.</td> <td align="center">（0.5442,0.1541）</td> <td align="center">2</td> </tr> <tr> <td align="center">(0.0686, 0.2428)</td> <td align="center">32.</td> <td align="center">(0.0731, 0.3027)</td> <td align="center">5</td> </tr> <tr> <td align="center">(0.1244, 0.3280)</td> <td align="center">12</td> <td align="center">(0.1294, 0.3847)</td> <td align="center">1</td> </tr> <tr> <td align="center">(0.3476, 0.0421)</td> <td align="center">24.</td> <td align="center">(0.3151, 0.0403)</td> <td align="center">4</td> </tr> <tr> <td align="center">(0.2793, 0.1585)</td> <td align="center">12</td> <td align="center">(0.2714, 0.1569)</td> <td align="center">2</td> </tr> <tr> <td align="center">(0.2134, 0.0223)</td> <td align="center">2</td> <td align="center">(0.2255, 0.0221)</td> <td align="center">3.</td> </tr> <tr> <td align="center">(0.1856, 0.0341)</td> <td align="center">23.</td> <td align="center">(0.2183, 0.03257)</td> <td align="center">3.</td> </tr> <tr> <td align="left" colspan="5"> <hr></td> </tr> <tr> <td align="left" rowspan="11">50.</td> <td align="center">（0.0346,0.0922）</td> <td align="center">13</td> <td align="center">(0.0328, 0.1205)</td> <td align="center">1</td> </tr> <tr> <td align="center">（0.0761,0.0101）</td> <td align="center">19.</td> <td align="center">（0.0943,00098）</td> <td align="center">2</td> </tr> <tr> <td align="center">（0.1607,0.2225）</td> <td align="center">6</td> <td align="center">(0.1714, 0.2511)</td> <td align="center">1</td> </tr> <tr> <td align="center">(0.1092, 0.0408)</td> <td align="center">17.</td> <td align="center">(0.1538, 0.0368)</td> <td align="center">2</td> </tr> <tr> <td align="center">(0.1669, 0.0229)</td> <td align="center">19.</td> <td align="center">（0.1592,0.0229）</td> <td align="center">1</td> </tr> <tr> <td align="center">(0.2277, 0.0482)</td> <td align="center">28.</td> <td align="center">(0.2159, 0.0479)</td> <td align="center">2</td> </tr> <tr> <td align="center">(0.4047, 0.03670)</td> <td align="center">31.</td> <td align="center">(0.3385, 0.0342)</td> <td align="center">3.</td> </tr> <tr> <td align="center">(0.1925, 0.3076)</td> <td align="center">14</td> <td align="center">(0.1881, 0.3085)</td> <td align="center">1</td> </tr> <tr> <td align="center">(0.1546, 0.1301)</td> <td align="center">12</td> <td align="center">（0.1678,0.1517）</td> <td align="center">1</td> </tr> <tr> <td align="center">(0.2142, 0.0126)</td> <td align="center">89.</td> <td align="center">（0.3065,0.0111）</td> <td align="center">10</td> </tr> <tr> <td align="center">（0.3657,0.2198）</td> <td align="center">16.</td> <td align="center">(0.370951, 0.2122)</td> <td align="center">1</td> </tr> </tbody> </table> </table-wrap> <p>最后，表中提出了更高维度随机LPS的结果<xref ref-type="table" rid="tab4"> 4</xref>．在这里，我们已经采取了每个订单的20个随机LP的迭代数量的平均值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mrow> <mml:mi> ε</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> ０．００１</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>．结果表明，该方法即使在高维问题上也具有较高的效率。</p> <table-wrap id="tab4"> <label>表4.</label> <p>比较高维随机LPs的平均迭代次数。</p> <table> <thead> <tr> <th align="left">订单</th> <th align="center">P-center</th> <th align="center">CN-center</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td align="left">3×5</td> <td align="center">62.71</td> <td align="center">16.57</td> </tr> <tr> <td align="left">5×3</td> <td align="center">35.85</td> <td align="center">8.23</td> </tr> <tr> <td align="left">5×5</td> <td align="center">85.5</td> <td align="center">55.33</td> </tr> <tr> <td align="left">10×5</td> <td align="center">136.8</td> <td align="center">34.4</td> </tr> <tr> <td align="left">10×10</td> <td align="center">476.44</td> <td align="center">77.22</td> </tr> <tr> <td align="left">15×15</td> <td align="center">650.71</td> <td align="center">249.85</td> </tr> <tr> <td align="left">15×10</td> <td align="center">348.6</td> <td align="center">96.34</td> </tr> <tr> <td align="left">20×20</td> <td align="center">331.44</td> <td align="center">258.88</td> </tr> <tr> <td align="left">30×20</td> <td align="center">213.2</td> <td align="center">162.7</td> </tr> <tr> <td align="left">20×30</td> <td align="center">508.2</td> <td align="center">236</td> </tr> <tr> <td align="left">30×30</td> <td align="center">206.75</td> <td align="center">193.125</td> </tr> </tbody> </table> <table-wrap-foot> <fn> <p>注意:在这里,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:mrow> <mml:mi> ε</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> ０．００１</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>已经足够了。如果观察CN-center的收敛规律，可以发现收敛速度在开始时较快，在以后的迭代过程中逐渐变慢。一般来说，我们不需要精确的中心点;实际上，任何一个好的中心位置都足够工作了。因此，对于100 × 100甚至非常高维的问题，CN-center只需几次迭代就可以获得一个好的中心点。</p> </fn> </table-wrap-foot> </table-wrap> </sec> <sec id="sec7"> <title>7.应用程序</t我tle> <p>有很多领域可以用近似中心法求解有限极限规划，例如求解线性规划和一般凸规划[<xref ref-type="bibr" rid="B13"> 13</xref>]，支持向量机(SVM)解决方案，对应于在版本空间中刻划的最大球体的中心[<xref ref-type="bibr" rid="B9"> 9</xref>，<xref ref-type="bibr" rid="B14"> 14</xref>]，计算容积公式[<xref ref-type="bibr" rid="B15"> 15.</xref>]，以及线性规划的球面法[<xref ref-type="bibr" rid="B16"> 16.</xref>］．</p> </sec> <sec id="sec8"> <title>8.结论</t我tle> <p>在本文中，我们提出了P-center [<xref ref-type="bibr" rid="B3"> 3.</xref>]并称为CN中心。我们的实验结果表明，P中心和CN中心的中心质量几乎相同，但就迭代的数量而言，CN-Center在计算的良好中心位置较低，也是较低的如在更高的尺寸问题。</p> <p>一般来说，寻找LP的中心位置是大多数内点法的主要关键步骤。通常，我们不需要精确的中心，相反，如果在较少的计算中获得一个良好的中心位置就足够了。所以，在这个意义上，CN-center是一个更好的选择，而不是P-center或分析中心。</p> </sec> <back> <sec sec-type="data-availability"> <title>数据可用性</t我tle> <p>使用MATLAB软件随机生成数据。可以根据要求提供随机数和相关的MATLAB文件的种子。</p> </sec> <sec sec-type="COI-statement"> <title>的利益冲突</t我tle> <p>作者声明他们没有利益冲突。</p> </sec> <ref-list> <ref id="B1" content-type="inproceedings"> <label>1</label> <element-citation publication-type="confproc"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 克利</surname> <given-names> V.</given-names> </name> </person-group> <article-title> 凸起</一个rticle-title> <conf-name> 美国数学学会第七届纯数学研讨会论文集</conf-name> <conf-date> 1961年6月</conf-date> <conf-loc> 美国西雅图,华盛顿州</conf-loc> </element-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="article"> <label>2</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 鲍</surname> <given-names> N. D.</given-names> </name> <name> <surname> Turvova</surname> <given-names> 诉L。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 凸多边形切比雪夫中心的求解算法</一个rticle-title> <source> <italic> 应用数学与优化</我t一个lic> <year> 1995</year> <volume> 29.</volume> <issue> 2</我ssue> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / BF01204183</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2-S2.0-00004507099.</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="article"> <label>3.</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 卡洛斯·莫雷蒂</surname> <given-names> 一个。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 一种加权投影定心方法</一个rticle-title> <source> <italic> 计算和应用数学</我t一个lic> <year> 2003</year> <volume> 22.</volume> <issue> 1</我ssue> <fpage> 19.</fpage> <lpage> 36.</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1590 / s0101 - 82052003000100002</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="book"> <label>4</label> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Bertsekas</surname> <given-names> D. P.</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 凸优化理论</我t一个lic> <year> 2009</year> <edition> 1</edition> <publisher-loc> 美国贝尔马</publisher-loc> <publisher-name> 雅典娜科学</publisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="article"> <label>5</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 巴恩斯</surname> <given-names> E. R.</given-names> </name> <name> <surname> 莫雷蒂</surname> <given-names> A. C.</given-names> </name> </person-group> <article-title> 关于多面体中心的一些结果</一个rticle-title> <source> <italic> 优化方法及软件</我t一个lic> <year> 2005</year> <volume> 20.</volume> <issue> 1</我ssue> <fpage> 9</fpage> <lpage> 24.</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1080 / 10556780410001722462</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 12344254683</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="article"> <label>6</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 雷格格</surname> <given-names> J。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 基于牛顿方法的多项式时间算法</一个rticle-title> <source> <italic> 对线性规划</我t一个lic> <year> 1988</year> <volume> 40</volume> <issue> 1-3</我ssue> <fpage> 59.</fpage> <lpage> 93.</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / bf01580724</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0023862337</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="article"> <label>7</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 伯格斯</surname> <given-names> p . T。</given-names> </name> <name> <surname> Domich</surname> <given-names> p D。</given-names> </name> <name> <surname> 唐纳森</surname> <given-names> J. R.</given-names> </name> <name> <surname> Witzgall</surname> <given-names> C。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 线性规划问题的中心法的算法改进</一个rticle-title> <source> <italic> 计算杂志</我t一个lic> <year> 1989</year> <volume> 1</volume> <issue> 3.</我ssue> <fpage> 159.</fpage> <lpage> 171.</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1287 / IJOC.1.3.159</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="article"> <label>8</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 弗洛伊德</surname> <given-names> R。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 内点法的射影变换和w-中心问题的超线性收敛算法</一个rticle-title> <source> <italic> 数学规划</我t一个lic> <year> 1993</year> <volume> 58.</volume> <issue> 1-3</我ssue> <fpage> 385.</fpage> <lpage> 414</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / bf01581277</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0027540470</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="incollection"> <label>9</label> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> hu</surname> <given-names> P。</given-names> </name> </person-group> <person-group person-group-type="editor"> <name> <surname> Abadie</surname> <given-names> J。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 用中心法求解非线性约束数学规划</一个rticle-title> <source> <italic> 非线性规划</我t一个lic> <year> 1967年</year> <publisher-loc> 荷兰阿姆斯特丹</publisher-loc> <publisher-name> 北荷兰出版公司</publisher-name> <fpage> 207</fpage> <lpage> 219</lpage> </element-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="incollection"> <label>10</label> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 贾尔先生</surname> <given-names> F。</given-names> </name> <name> <surname> Sonnevend</surname> <given-names> G。</given-names> </name> <name> <surname> 国标</surname> <given-names> J。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 解析中心法的实现</一个rticle-title> <source> <italic> 控制与资讯科学讲座讲稿</我t一个lic> <year> 1998</year> <publisher-loc> 柏林，德国</publisher-loc> <publisher-name> 斯普林格出版社</publisher-name> <fpage> 297.</fpage> <lpage> 307</lpage> </element-citation> </ref> <ref id="B11" content-type="book"> <label>11</label> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 博伊德</surname> <given-names> S.</given-names> </name> <name> <surname> Vandenberghe</surname> <given-names> l</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 凸优化</我t一个lic> <year> 2004</year> <publisher-loc> 剑桥，英国</publisher-loc> <publisher-name> 剑桥大学出版社</publisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B12" content-type="book"> <label>12</label> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Luenberger.</surname> <given-names> d·G。</given-names> </name> <name> <surname> 荫榆</surname> <given-names> y。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 线性与非线性规划</我t一个lic> <year> 2008</year> <edition> 第三</edition> <publisher-loc> 美国纽约</publisher-loc> <publisher-name> 施普林格</publisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B13" content-type="book"> <label>13</label> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 卡洛斯·莫雷蒂</surname> <given-names> 一个。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 一种寻找多容孔中心的技术</我t一个lic> <year> 1992</year> <publisher-loc> 亚特兰大,乔治亚州,美国</publisher-loc> <publisher-name> 佐治亚理工学院</publisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B14" content-type="inproceedings"> <label>14</label> <element-citation publication-type="confproc"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 米尔德</surname> <given-names> F。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 高维多面体质心的精确计算算法及其在核机中的应用</一个rticle-title> <conf-name> 第三届IEEE数据挖掘国际会议的诉讼程序</conf-name> <conf-date> 2003年11月</conf-date> <conf-loc> 墨尔本，佛罗里达州，美国</conf-loc> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1109 / ICDM.2003.1250988</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B15" content-type="article"> <label>15.</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Sonnevend</surname> <given-names> G。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 解析中心概念在近似(估计)问题中的应用</一个rticle-title> <source> <italic> 计算与应用数学杂志</我t一个lic> <year> 1989</year> <volume> 28.</volume> <fpage> 349</fpage> <lpage> 358</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / 0377-0427（89）90346-4</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 38249026659</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B16" content-type="book"> <label>16.</label> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Murty</surname> <given-names> k·G。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 特殊多面体的球中心</我t一个lic> <year> 2009</year> <publisher-loc> 美国密歇根州安娜堡市</publisher-loc> <publisher-name> 密歇根大学工业与运营工程系</publisher-name> </element-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>